“数学实验”课题研究报告

一、   前言

    本项目是中国高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划中工科类课题“数学系列课程教学教学内容和课程体系改革的研究与实践”(编号03－11)的子课题。

    本项目于1995年底获批准，至今历时近五年。主要内容为：

1.    研究开设“数学实验”课程的必要性(意义)；

2.    编写“数学实验”教材；

3.    探索“数学实验”课程的教学框架(包括教学方式、内容、学时安排等)，进行教学实践并作出总结；

4.    宣传、介绍并推广“数学实验”课程。

    目前上述诸项工作均已较好完成：“数学实验”教材于1999年10月作为面向21世纪课程教材正式出版；该课程的教学试点已连续进行四年，对课程开设的相关问题取得较成熟的见解和较丰富的经验；发表有关数学实验的研究论文，组织了“数学实验”研讨和培训班。

二、数学实验课的意义

    数学实验是近年来大学数学教学改革中产生的一门新型课程，诞生的时间并不长，却引起十分广泛的兴趣和关注，许多学校已经或准备开设这门课。在理工科大学的基础教学中，传统数学课程历来有着重要的地位，已经占有较多的学时，是否还有必要开设数学实验课？这门课程的意义何在？这是课题组首先研究的问题。

 ● 数学的重要性   随着经济和科学技术的进步，尤其是计算机技术的飞速发展，数学对于当代科学乃至整个社会的影响和推动作用日益显著。数学成为科学研究的主要支柱：数学方法及计算已经与理论研究和科学实验同样成为科研中不可缺少的有效手段。同时，现代数学几乎已经渗透到包括自然科学、工程技术、经济管理以至人文社会科学的所有学科和应用领域中，从宇宙飞船到家用电器、从质量控制到市场营销，通过建立数学模型、应用数学理论和方法并结合计算机解决来实际问题成为十分普遍的模式。这种掌握数学知识并应用计算机来从事研究或解决实际问题的本领表明形势对科学技术人才的数学素质和能力已经提出了更新更高的要求。

 ● 工科数学存在的问题   传统的工科数学教学似乎很难适应形势，正面临越来越多的问题和困难。多年以来教学内容、方法和手段变化甚微，不能体现数学在科技和现实生活中所起的重要作用。课时减少、教材陈旧、方法落后使学生对数学知识的掌握和应用局限于后继课程对这些知识的需要，甚至仅仅在于对某些定理或公式的套用；学生缺乏运用数学的思想和方法来解决实际问题的能力。教材中的应用例题往往脱离生动背景而很难吸引学生，甚至也不被教师真正重视。正因为如此，出现了象中科院院士李大潜所指出的那种“长期存在的矛盾现象：一方面数学很有用、另一方面学生学了数学以后却不会用。”另外，计算机和数学软件的使用生在工科数学的教学中的反映远远不够，与计算机的结合主要还只是局限在教学的辅助手段方面，远未达到在学习内容和学习方式上应用计算机的程度。

     ●  数学实验课的意义    所谓“数学实验”课是让学生通过解决实际问题的过程来学习和应用数学, 在这个过程中需要运用数学知识和方法、需要借助计算机和数学软件，更重要的是学生有较大的自主空间。显然，这个课程与传统数学课程有着很大的不同，至少有以下一些特点：

    (1) 数学实验课的设立，改变了数学课程那种仅仅依赖“一支笔、一张纸”、由教师单向传输知识的模式。它提高了学生在教学过程中的参与程度，学生的主观能动性在实验中能得到相当充分的发挥。好的实验会引起学生学习数学知识和方法的强烈兴趣并激发他们自己去解决相关实际问题的欲望，因此数学实验有助于促进独立思考和创新意识的培养。

    (2) 数学实验让学生了解和初步实践应用数学知识和方法解决实际问题的全过程，并通过计算机和数学软件进行“实验”，实验的结果不仅仅是公式定理的推导、套用和手工计算的结论，它还反映了学生对数学原理、数学方法、建模方法、计算机操作和软件使用等多方面内容的掌握程度和应用的能力。因此数学实验有助于促进在实际工作中非常需要的综合应用能力的培养。

    (3) 数学实验必须使用计算机及应用软件，将先进技术工具引进了教学过程，不止是作为一种教学辅助手段，而且是作为解决实验中问题的主要途径。因此数学实验有助于促进数学教学手段现代化和让学生掌握先进的数学工具。

    从这些方面可以看出：数学实验课并非是一种应景点缀的时髦课程，它的产生符合教育改革的方向，是很具生命力的新型课程。

三、         教材编写

    课程建设的重点之一是教材，课题组最主要的一项工作就是编写“数学实验”教材。

    由于数学实验课程的定位为面向大学生的基础课程，即必须尽可能让大多数学生参与这个教学环节。因此我们在数学实验教材的内容选取上有以下一些原则：

     ● 实验的数学基础主要限于理工科大学一、二年级所学习的微积分、线性代数和概率统计课程的知识；有些实验涉及的数学原理和方法会超出这个范围，例如混沌现象和小波方法等，但都经过适当的深入浅出的处理而成为较易于接受的简单形式。

     ● 每个实验有相对的完整性和独立性。每一实验力求反映“用数学解决实际问题” 的全过程。而各个实验的难易程度虽有差别，却并无先后次序的关联约束。从而使用时既可以开设独立课程，采纳全部或大部分实验；也可配合某门数学基础课程的教学，选择若干实验。

     ● 取材广泛，而且尽可能反映多种领域，反映新学科分支，反映现实生活。在此基础上实验内容的选择则考虑到具有典型意义，贴近实际、贴近生活，新颖有趣等因素。在我们的教材所选编的实验中，有传统的物理、力学问题(“行星的轨道和位置”、“导弹跟踪问题”等)，也有经济、管理问题(“投入产出分析”、“库存系统的仿真方法”等)、还有金融问题(“个人住房抵押贷款”、“股票期权定价问题的Black-Scholes方程和二叉树方法”等)；有涉及信息技术的问题(“Hill密码的加密、解密和破译”、“机器人识别定形工具柄问题”等)，有非线性科学问题(“从物种增长的Malthus模型到混沌”、“生物电分析的小波方法”等)，也有直接来自生产第一线的问题(“油罐标尺刻度的设计”、“建筑工程公司投标的决策分析”等)。丰富生动的题材有利于扩大学生的知识面，提高学习的兴趣。

        ● 结合实验内容，有选择地介绍数学原理和方法(尤其是一些重要的应用方法)，但介绍不追求系统和完备，而是有的放矢，针对具体问题给出一点入门知识和开启一个窗口。这为学生进一步学习所需要的数学知识提供了机会和帮助。

     ● 每个实验均须结合计算机的操作使用，包括使用适当的常用数学软件，但并不强调特定的计算平台。数学软件具有强大的计算功能，在实验中使用它是完全必要的。但每一实验需要应用软件的程度不同，所以我们在教材中实验任务的安排中，是让学生根据具体的情况选择计算方式，可以选用某一软件，也可以编程解决。

“数学实验”全书包括21个实验素材，涉及物理，力学，生物，经济，管理、金融和工程技术等各领域，内容典型生动；通过实验除了介绍相应的数学模型和数值方法，还介绍了其他有关的数学方法，例如：摄动方法，仿真方法，运筹方法等.

该教材的编写历时数年、三易其稿，进行了教学试点，听取了工科数学课程教学指导委员会的评审专家组的意见，在此基础上不断修改、实践，已于1999年10月由高等教育出版社作为“面向21世纪课程基础”出版。李大潜院士为此书作了序言。

四、         数学实验的框架和实践

     数学实验是一门新课程，还处于探索试点的阶段，因此在教学的框架和内容上存在各种理解和选择。一般而言，数学实验课程并非专门介绍数学某一分支或某一方法，它可以说是一种数学方式或模式。可以独立设课，也可以结合各种数学课程来进行；安排的内容和课时多少等也可以依据具体情况来作选择。

    我们对数学实验课设计的基本的框架是“案例式教学”， 即大多数实验都是从一个实际问题出发，来讨论分析如何解决这个问题。每个问题基本上包括了“问题提出 ¾¾ 建立数学模型¾¾ 分析研讨¾¾ 计算机处理¾¾ 小结或进一步思考”的过程。案例式教学一方面由实际问题导出相应的方法和理论，有的放矢，针对性强，符合人们的认识过程；另一方面具有相对的独立性和完整性，便于灵活安排。在当前工科数学课程体系改革尚在进行，各类学校教学计划和学时有很大差异的情况下，数学实验课程的内容和课时等可以根据实际需要和可能来加以调整。这种灵活性和适应性使得课程的设置成为可行是相当重要的。

     ● 教学内容  教学内容的选取则主要依据(1)基础适当，深入浅出；(2)题材广泛,知识丰富；(3)典型生动，新颖有趣的原则(参见教材编写一节)。通常重点考虑的因素是学生所学数学知识情况以及所在的专业，从而选择相适应的实验案例。

     ● 教学方式  具体的教学过程采用讲授与训练相结合、课内学习与课外研讨相结合、理论推导及运算与上机操作相结合的方式： 通常在课程的开始时先用大约4个学时介绍数学软件的基本内容和操作指令，并要求学生进行适当的练习，作为以后实验的基础。在每一实验开始时，先由教师授课约2学时，介绍实验的背景和要求，以及相关的建模方法、数学上的解析的和近似的处理方法，然后布置实验任务。学生分小组（每组二、三人为宜）在课外讨论、建模，设计问题的处理方案，再上机操作2 学时左右，最后写出实验报告。在有必要的时，宜对学生的实验情况作讨论或小结。

 我们对数学实验课的安排大体上有两种模式：一是作为独立课程开设，36学时，讲课和上机各占一半，大约介绍9个实验；另一是结合在某一数学基础课内，根据内容适当安排相应实验，在一门54学时的课程内大约介绍3个数学实验。

 ● 教学实践情况  我们从1996年起在上海交大一、二年级的一些班级进行了数学实验课的教学试点，试点面逐步推广(目前每一届参加学生约200名)，从进行几届试点的情况来看，效果还是相当令人满意的：(详见教学试验报告)

    (1) 所有的小组都能完成实验任务的基本要求，即能够用数学知识借助计算机解决实验任务中提出的主要问题；这表明在该课程中对学生所提出的教学要求是适宜的。

    (2) 部分学生完成实验的情况相当出色，甚至大大超出教师预期的水平,显示出某种程度上的创新意识和较强的应用能力，这正是我们希望通过实验课程所能看到的结果。有些实验报告观点独特，有一定的创见；有些实验报告表现出学生使用计算机编程和作图解决问题的很强能力；有些实验报告反映学生能查阅资料进行自学，对问题的发展作更深入的讨论。总之出色的实验结果体现了学生的创造精神和应用能力。

    (3) 学生结合计算机学习数学、应用数学的能力有了提高，对数学软件有初步的了解和掌握，有益于理工科学生今后的学习和工作。

    (4) 实验课程受到学生极为普遍的欢迎，同时提出了切实的意见, 反映了学生对数学课程教学改革的强烈愿望和这门新型课程做法的接受肯定。(详见教学试验报告)

五、         宣传、推广数学实验课程

    由于数学实验是一门新课程，有着与传统数学课程显著不同的特点，从而正引起越来越多的学校的注意，并希望了解进而能够开设这一课程。作为面向21世纪数学课程教学改革项目的一部分，对数学实验课的宣传推广是课题组又一项任务。

对近年来在上海交大从事该课程的研究、探讨和教学实践的情况，不断进行总结，并在多种会议和刊物上(例如：1997年景德镇“工科数学转变教学思想专题研讨会”、1999年清华大学“数学实验研讨班”、1999年成都“第四次全国工科数学课程教学经验交流会”)作介绍。

2000年初，由全国工科数学课程教学指导委员会和上海交通大学国家工科数学教学基地联合举办的“数学实验研讨会暨培训班”在上海交通大学举行。来自全国各地77所高校近130名代表参加了会议。在会议上，课题组介绍了开展数学实验课程的探索和教学实践的经验；对所编写的 “数学实验”教材的部分实验作了教学演示，介绍了实验的教学具体过程和教学思路；展示了学生的实验报告。(详见附件)

 课题组所作的这方面工作扩大了对数学实验的影响(光明日报、上海新闻报等曾经作了专题报道，见附件)，对许多学校的数学教学改革有一定的促进和帮助，而对该课程的建设起到了十分积极的推动作用。

六、结束语

    我们对数学实验课程的研究和实践虽然作了一些工作，在还远远谈不上完善。目前对数学实验课程的定位，内容选取和教学方式等诸方面都有着各种不同的理解和选择，事实上国内几所大学对该课程所采用的试点模式就各不相同。这种多样性一方面显示了数学实验课程设置的灵活性，另一方面也说明了探索、认识过程中的正常差异。

    从课题组研讨和教学实践的情况看，数学实验课在大学的推广逐步成为一门正式的基础课程或成为一个必要教学环节还存在不少问题，其中最主要的是师资条件的缺乏和课时安排的困难：由于数学实验涉及建模方法、有关的数学知识和计算方法，还涉及计算机包括常用数学软件的使用，具有较强的综合性，因此课程对任课教师提出了较高的要求，需要进行必要的培训和进修；另外工科数学的课程体系整体改革仍在进行，数学实验与原有数学课程之间在安排上(包括内容和学时等方面)的统一协调还是有着一些矛盾。

正因为数学实验课处于探索和试验的阶段，作为数学教学改革的一种尝试，它需要进一步完善，相应的深入研究和教学试点的推广均是十分必要的。我们希望在教育行政部门的积极支持下，继续坚持这项工作，并希望有较多的学校参加其中，把数学实验的建设做得更好。

                            七、附件目录

    1. 教材

“数学实验”，上海交通大学乐经良、向隆万、李世栋编，高等教育出版社，1999年10月

2. 论文

(1)数学实验的认识和实践，乐经良、向隆万等，《工科数学》第13卷第

6期，1997年12月

(2)重视数学实验，乐经良、李世栋等，《数学在大学教育中的作用》研讨

班，1998年10月，北京香山

(3)关于数学实验， 乐经良， 第四次工科数学课程教学经验交流会，1999

年10月，四川成都

(4)积极开展”数学实验“的教学探索，乐经良，《高等数学通讯》第37

期，2000年6月

(5)案例教学是培养综合应用数学知识能力的好方法，向隆万、乐经良，《中

国大学教育》，即将发表

    3. 其他材料

(1) 上海交大“数学实验研讨会暨培训班”会议纪要

(2) 光明日报、上海新闻报对我校数学实验工作的专题报道

                             上海交通大学应用数学系

                                 数学实验课题组

                                2000年7月25日

“数学实验”项目鉴定意见

由上海交通大学承担的“数学实验”是“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”工科类立项项目“数学系列教学内容和课程体系改革的研究与实践”的一个子项目。在全国高等学校教学研究中心的主持下，2000年9月16—17日在西安交通大学召开了项目成果鉴定会。鉴定委员会对该项目提出如下意见：

    数学实验是近年来在大学数学教学改革中出现的新型课程。目前尚处于探索阶段，课题组选取了一种可行的模式，并进行了有益的实践。

课题组编写的“数学实验”教材，适合本科不同专业、不同年级学生选用；取材广泛，贴近应用；实验任务启发性较强，利于学生发挥。全书风格新颖，颇具特色，是一本既有改革精神又切实可用的教材。

该课题组采用“案例式教学”方法，注重学生的主动参与，提倡合作研究精神，有益于创新意识和应用能力的培养，受到学生的广泛欢迎。

课题组实事求是地指出了还存在的一些问题，希望在今后进一步的教学实践中，使数学实验得到不断改进、提高和完善。

鉴定委员会认为：课题组全面地完成了总项目对该子项目所规定的目标和任务。“数学实验”课题符合教学改革方向，它推动了“数学实验”课程的建设和发展，对大学数学教学改革将产生积极的影响。

                 鉴定委员会主任委员：    李大潜   （签字）

                              2000    年 9 月 17  日

“数学实验”项目鉴定的专家组名单

主任委员：  李大潜，  中科院院士、复旦大学教授

委员：  李延保，  中山大学党委书记、教授

            刘家琦，  哈尔滨工业大学副校长、教授

曹之江，  内蒙古大学副校长，教授

林建祥，  北京大学教授

李心灿，  北京航空航天大学教授

叶其孝，  北京理工大学教授

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